Bogenlänge im Einheitskreis
| Winkel in Grad | Winkel | x | y | Bogenlänge |
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | pi/6 | 3^0,5/2 | 0,5 | 0,523598 |
| 45° | pi/4 | 2^0,5/2 | 2^0,5/2 | 0,785398 |
| 60° | pi/3 | 0,5 | 3^0,5/2 | 1,047197 |
| 90° | pi/2 | 0 | 1 | 1,570796 |
Radius r=1
Bogenlänge b1=pi*r*ß/180°
Bogenlänge b2=Integral (1+y'(x)^2)^0,5 dx mit y=(r^2-x^2)^0,5, dies ist die Kreisgleichung
b2=Integral (1+x^2/(r^2-x^2))dx in den Grenzen von a zu b
b2=Integral (1/(1-x^2))dx in den Grenzen von a zu b
b2=arcsin(x) in den Grenzen von a zu b=arcsin(b)-arcsin(a)
b=1 Viertelkreis, daraus folgt: b2=arcsin(1)-arcsin(a), daraus folgt: b2=pi/2-arcsin(a) für a=x
b1=b2, daraus folgt: pi*r*ß/180°=pi/2-arcsin(x)
sin(pi/2-ß*pi/180°)=x
Phasenverschiebung pi/2, daraus folgt: cos(ß*pi/180°)=x
x=cos(b1), oder arccos(x)=b1
es gilt: x=cos(ß)*r=cos(ß), daraus folgt:
arccos cos(ß)=b1, daraus folgt, daß ß=b1
dies entspricht einer sogenannten "Sägezahnlinie" in den jeweiligen Intervallen
Link zur Mathelounge:
weiterführende Berechnungen, Versuch arcsinx durch Polynom darzustellen, trigonometrischer Ansatz
Aufgabe:
Darstellung des arcsinx durch ein allgemeingültiges Polynom unter Zuhilfenahme eines trigonometrischen Ansatzes
Problem/Ansatz:
1=u'a-a'u aus (arcsinx)'=1/(1-x^2)^0.5, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25, Quotientenregel Differentialrechnung
(arcsinx)'=(u'a-a'u)/a^2)
1=(sinx)^2+(cosx)^2, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25=cosx und u=sinx, gesucht ist das Polynom für u
1=u'a-a'u, daraus folgt: 1+2ua'=(u*a)'=u'a+a'u, Produktregel Differentiation
1+2ua'=1-2*(sinx)^2=cos(2x)=(sinx*cosx)'=2*(cosx)^2-1
1-2*u^2=2a^2-1 daraus folgt: u=(1-a^2)^0.5=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5
u/a=arcsinx, folgender Ansatz wurde von mir gefunden, den ich nicht näher herleiten kann:
f1=k1(1-k2*(1-k3*x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a=arcsinx, mit k1=f(k2 ), daraus folgt:
f2=g1*arcsin(x*g2)=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a
es soll gelten: f1=f2=g1*arcsin(x*g2) und f'2=g1*g2/(1-(g2*x)^2)^0.5=x/(2*(1-x^2)^1.25*(1-(1-x^2)^0.5)^0.5)=f'1
Ermittlung der Konstanten gi bei x=0.5, willkürlich gewählt:
g1=0.5228504671290 und g2=1.36658
Damit lautet die Funktionsgleichung für f2=f1=0.5228504671290*arcsin(x*1.36658)=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a!!!!
Der arcsin(x)ergibt sich damit zu:
arcsin(x)=1/g1*(1-(1-(x*1/g2)^2)^0.5)^0.5/(1-(x*1/g2)^2)^0.25!!!!
Damit wurde nachgewiesen, daß die trigonometrische Funktion arcsinx, genau, durch ein Polynom dargestellt werden kann.
Die geplotteten Bilder sind nicht besonders aussagekräftig/genau in Ihrer Darstellung. Besuchen Sie doch einfach den weiter oben angezeigten Link zur Mathelounge, um sich einen besseren Eindruck, von dieser Problematik zu machen!
Abschließende Betrachtungen:
Der von mir danach ermittelte Sinus wird in seiner Gesamtheit sicherlich in zwei Abschnitte eingeteilt werden müssen, in Bezug auf seine Nachbildung durch ein Polynom, von x[0;1] und [1;pi/2]! Der zweite Abschnitt wird sich sicherlich aus der Funktion u=sinx=f1=k1(1-k2*(1-k3*x^2)^0.5)^0.5 ergeben. Die Konstanten wird man dabei durch einen Funktionswert, der ersten Ableitung und den Sonderfall bei x=pi/2, mit eine Abhängigkeit von k1=f(k2) ermitteln können. Danach dürfte es keine Probleme mehr geben, mit der zb. genauen Berechnung des Schwerpunktes der von der Sinuskurve eingeschlossenen Fläche. Dies ist jedoch mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden....!
man beachte: arcsin(x)+arccos(x)=pi/2, für beliebige x (...im jeweiligen Definitionsbereich...), ein Ergebnis für pi!!!!
Die Weiterentwicklung des arcsin(x) bzw. arccos(x), außerhalb des Definitionsbereiches, dann im Komplexen, ergibt in seiner Summe dann ebenfalls wieder pi/2!!!!